Задачи, головоломки, загадки

В задаче был сказан СПИРТ- значит спирт. (Разве технику водкой промывают?)
Тут скорее речь про то, что мы хотим получить в итоге. Чистый спирт или водку?

Если водку, то вроде всё просто - просто смешиваем наш "отравленный" бензином спирт с водой, через некоторое время смесь разделится и бензин можно будет аккуратно сверху слить/удалить. Для ещё лучшей отделяемости всю эту бодягу будет полезно поместить в морозилку.
 
Можно лишь найти максимальные и минимальные значения для вероятностей.
Почему только лишь минимум и максимум? В задаче вроде как прямо говорится не только об случайном открытии двери в комнату, но и о случайной перетасовке лампочек. Поэтому ответ предполагается вполне конкретный.
 
Почему только лишь минимум и максимум? В задаче вроде как прямо говорится не только об случайном открытии двери в комнату, но и о случайной перетасовке лампочек. Поэтому ответ предполагается вполне конкретный.
Во-первых это сам по себе неочевидный момент. Определение вероятности - это если (гипотетически) повторить эксперимент много раз, то в какой части из них получится данный результат. Если имеется ввиду что "эксперимент" - это также перетасовка начальных условий, то это должно быть явно оговорено.

Ок, в любом случае привожу решение для такого варианта. Оно требует вычислений, но "концептуально" на самом деле проще.

Итак, заходим в комнату, для одной лампочки с периодом T вероятность того что она загорится в период от текущего момента до времени t равна:

P(t) = t / T.

Соответственно плотность вероятности (производная по t): p(t) = 1 / T.
Формула верна для t <= T (пока вероятность не достигнет 1).

У нас 3 лампочки с периодами Та, Тб, Тв, соответственно 3 формулы вероятностей.

Вероятность того что за период от 0 до t ни одна из лампочек не загорится равна:

P^(t) = (1 - t/Tа) * (1 - t/Tб) * (1 - t/Tв)

Формула верна для t <= min(Та, Тб, Тв)


Для того чтобы найти вероятность того что, к пример, лампочка A загорится первой, надо найти интеграл по t выражения:

P^(t) * dt*pa(t) = P^(t) * dt / Tа

Т.е. вероятность того что за период от 0 до t ни одна лампочка не загорится, умножить на вероятность того что в период [t, t+dt] загорится лампочка А.

Заметим что по сути для всех трёх лампочек у нас один интеграл, в одних пределах (от 0 до минимума из Та,Тб,Тв). Отличаются лишь множители: 1/Та, 1/Тб, 1/Тв.

Значит вероятность для каждой лампочки того что она загорится первой обратно пропорциональна её периоду.

А поскольку мы знаем что сумма всех вероятностей равна 1, мы можем не вычислять этот интеграл.

Итого:

Pa = C / 2, Pб = C / 4, Pв = C / 6

Pa+Pб+Pв = С * (1/2 + 1/4 + 1/6) = С * (6+3+2)/12 = С * 11/12 = 1

С = 12/11

Pa = 6 / 11
Pб = 3 / 11
Pв = 2 / 11
 
Тут скорее речь про то, что мы хотим получить в итоге. Чистый спирт или водку?

Если водку, то вроде всё просто - просто смешиваем наш "отравленный" бензином спирт с водой, через некоторое время смесь разделится и бензин можно будет аккуратно сверху слить/удалить. Для ещё лучшей отделяемости всю эту бодягу будет полезно поместить в морозилку.
Да, ответ правильный. Хотя чуток быстроват- я то расчитывал, что задача продержится хотя бы до утра.
Но, когда задача задана в правильной форме, то её и разгадывают быстро. А то- расчитывай глубину оркестровой ямы, хлопки в ладоши и выясняй, кто такая Травиата.
Радует и то, что народ умеет отделять бензин от спирта. 1527839965579.png
 
Да, ответ правильный. Хотя чуток быстроват- я то расчитывал, что задача продержится хотя бы до утра.
Но, когда задача задана в правильной форме, то её и разгадывают быстро. А то- расчитывай глубину оркестровой ямы, хлопки в ладоши и выясняй, кто такая Травиата.
Радует и то, что народ умеет отделять бензин от спирта. Посмотреть вложение 77135
В СССР очищали канистру спирта при помощи буханки черного хлеба. Или мне изменяет память?
 
Итак, заходим в комнату
Да, тут за плечами чувствуется могучий матаппарат, от которого мне становится как-то страшно и неуютно...

Только вот заключение:
Значит вероятность для каждой лампочки того что она загорится первой обратно пропорциональна её периоду.

неверно. А значит и ответ неправильный...

Для более простого понимания можно взять не три, а две лампочки, ну скажем с периодом 1 и 2 минуты, и посчитать для них вероятности.

Впрочем, к чему всё это... Если полистать форум чуть повыше, то там можно найти и правильные ответы и решения. Моё тупое для конкретных периодов, и два общих решения от kapkap.
 
Да, тут за плечами чувствуется могучий матаппарат, от которого мне становится как-то страшно и неуютно...

Только вот заключение:

неверно. А значит и ответ неправильный...

Для более простого понимания можно взять не три, а две лампочки, ну скажем с периодом 1 и 2 минуты, и посчитать для них вероятности.

Впрочем, к чему всё это... Если полистать форум чуть повыше, то там можно найти и правильные ответы и решения. Моё тупое для конкретных периодов, и два общих решения от kapkap.
Хм... А можно указать на конкретный неверный вывод/рассуждение? Я ведь не с потолка это взял, а как-то к этому пришёл.

Для примера 1 двумя лампочками с периодами 1,2 минуты получаем соответственно вероятности 1/3, 2/3 (естественно для лампочки с меньшим периодом вероятность выше). Разве это неверно?
 
Да, тут за плечами чувствуется могучий матаппарат, от которого мне становится как-то страшно и неуютно...

Только вот заключение:

неверно. А значит и ответ неправильный...

Для более простого понимания можно взять не три, а две лампочки, ну скажем с периодом 1 и 2 минуты, и посчитать для них вероятности.

Впрочем, к чему всё это... Если полистать форум чуть повыше, то там можно найти и правильные ответы и решения. Моё тупое для конкретных периодов, и два общих решения от kapkap.
Ок, я нашёл ошибку.

Вероятность того что лампочка A загорится первой равна интегралу этого выражения:

P^(t) * dt*pa(t) = P^(t) * dt / (Tа - t)

т.к. плотность вероятности растёт по мере приближения к Ta.

Сейчас пересчитаю...
 
А зачем спирт очищать? И возможно ли это с помощью хлеба? Что потом с хлебом делать?
Пористый черный хлеб впитывает все более легкие примеси в спирте и потом выбрасывается.
Хлебом также пользовались для выкачки спирта из гуталина.
 
Да, тут за плечами чувствуется могучий матаппарат, от которого мне становится как-то страшно и неуютно...

Только вот заключение:

неверно. А значит и ответ неправильный...

Для более простого понимания можно взять не три, а две лампочки, ну скажем с периодом 1 и 2 минуты, и посчитать для них вероятности.

Впрочем, к чему всё это... Если полистать форум чуть повыше, то там можно найти и правильные ответы и решения. Моё тупое для конкретных периодов, и два общих решения от kapkap.
Ок, после исправления параметрически ответ выглядит так (для Ta <Tb, Tc)

Pa = 1 + Ta/(6TbTc) * [2Ta - 3Tb - 3Tc]
Pb = Ta/(6TbTc) * [3Tc - Ta]
Pc = Ta/(6TbTc) * [3Tc - Tb]

Видим что Pa+Pb+Pc = 1

Подставляя наши периоды получаем:

Pa = 23/36
Pb = 8/36
Pc = 5/36
 
Я понял что задача с лампочками решается гораздо проще. Соображение такое: для лампочки с периодом 4мин. вероятность попасть в первые 2мин. равна 1/2, и при условии что мы туда попадаем - плотность вероятности равна 1/2мин, т.е. такая же как у лампочки период которой 2мин. Для лампочки с периодом 6мин. соответственно вероятность попасть в этот диапазон равна 1/3.

Итого, надо рассмотреть варианты когда в этом диапазоне лампочки А, А+Б, А+В, А+Б+В. У каждого из этих вариантов своя вероятность, и в каждом из них вероятность загореться первой равна среди всех попавших туда лампочек.
 
Если кому интересно как решается задача с самонаводящейся ракетой:


См. рисунок.
un1.png

(1) схематически показывает ракету и самолёт, самолёт движется горизонтально, ракета - в сторону самолёта.

(2) Определим координатные оси x,d как на рисунке. Ось d в любой момент времени направлена от ракеты к самолёту (т.е. её направление непостоянно)
Говоря про отдельно взятый момент времени, у нас есть оси x,d, соответственно есть координаты самолёта и ракеты в этих осях, и можно говорить про разность координат самолёта и ракеты: X, D (обозначены большими буквами).

(3) Рассмотрим как меняется X за период времени dt. Самолёт летит вдоль оси x, его вклад обозначен чёрным вектором. С другой стороны ракета летит за ним (следовательно вносит отрицательный вклад), обозначено красным вектором, и его проекция на ось x обозначена оранжевым. Следовательно проекция суммы векторов скоростей на ось x - это длина чёрного вектора минус оранжевую проекцию.

(4) Аналогичным образом рассмотрим изменение D. Здесь направление вектора скорости ракеты совпадает с направлением оси d, вклад обозначен чёрным цветом. Вектор скорости самолёта обозначен красным, его проекция на ось d - оранжевым.

А теперь воспользуемся тем что скорости самолёта и ракеты равны. А это значит что равны также чёрные и оранжевые проекции в случаях (3), (4). А из этого следует что для любого момента времени за время dt величина D уменьшится ровно настолько насколько увеличится величина X.

Следовательно X + D = const.

В начальный момент времени X=0 (ракета вылетела когда самолёт был точно над ней), D = H (высота самолёта).
Значит X + D = H

С другой стороны ракета поворачивается в сторону самолёта, и в конце (ассимптотически) она летит в ту же сторону. Т.е. по сути оси x,d совпадают. Значит в конце получаем X = D.

Итого X = D, X + D = H.

D = H/2
 
Весы наклонятся вправо.

На оба шарика действует т.н. архимедова сила, следовательно с такой же силой в обратном направлении действуют и шарики на воду (т.е. вниз).
Но левый шарик привязан ко дну, значит архимедова сила через натяжение нити прикладывается также ко дну и действует вверх.
Таким образом в левой чаше это роли не играет, её вообще можно рассматривать как твёрдое тело.

А в правой чаше это не компенсируется. Сила действующая на правую чашу больше на ту величину на которую меньше натяжение нити на котором шарик висит.

Другой способ посмотреть на задачу: шарик погружённый в стакан воды приводит к повышению уровня воды, а т.к. давление воды линейно зависит от высоты, то, следовательно, давление на дно чаши растёт. Но на левую чашу также действует сила натяжения нити (вверх).
Следовательно но правую чашу действует бОльшая сила.