Задачи, головоломки, загадки

Такие задачи обычно легко решаются с помощью подходящего мартингала. Покажем решение на примере строки ОРОР.
Представим казино в котором каждый час происходит розыгрыш подбрасыванием монетки. На N-ом шаге в казино входит человек с одним рублем в кармане и делает ставку в 1 рубль на О. Если выиграл, то на следующем шаге он ставит 2 рубля на Р, если выиграл, то далее ставит 4 рубля на О и так далее постоянно удваивая ставку и ставя на следующую букву нашей последовательности и так до конца нашей последовательности. Если на любом шаге человек проиграл, то он банкрот и выбывает из игры. Каков ожидаемый выигрыш? Если выпадет ОРОР (с вероятностью 1/16) то выигрыш составит 1+2+4+8=15 рублей, во всех остальных 15-ти случаях человек проигрывает 1 рубль, значит ожидаемый выигрыш равен 0 при подобной системе.
Теперь представим, что в казино на каждом шаге входит новый человек и начинает свою игру (которая для него продолжается максимум 4 шага). Совокупный ожидаемый выигрыш всех вошедших очевидно тоже должен быть равен нулю,
а значит является мартингалом.

Теперь как это все используется для вычисления ожидаемого количества шагов N до выпадения ОРОР.
Допустим на N-ом шаге впервые выпало ОРОР. Это значит, что первые N-4 вошедших игроков проиграли по рублю и их совокупный выигрыш равен 4-N. (N-3) -й игрок очевидно выиграл 15 рублей. (N-2)-й проиграл рубль, (N-1)-й выиграл 1+2=3 рубля, и N-й проиграл рубль. То есть совокупный выигрыш всех N игроков равен:
4 - N + 15 -1 + 3 - 1 = 20 - N.
Однако, ожидаемый совокупный выигрыш должен быть равен нулю, значит 20 - N = 0, откуда ожидаемый N = 20.
Этот метод легко обобщается для произвольной строки, и если посмотреть как мы считаем совокупный выигрыш, то понятно что нужно для каждого суффикса, который является префиксом добавить 2^k, где k это длина суффикса.
Интересное рассуждение, я даже новое слово выучил.
 
Петя, Коля и Вася играют в настольный теннис один на один. Пока двое играют, третий отдыхает. Проигравший идет отдыхать, а выигравший играет с тем, кто до этого отдыхал.

В конце Петя сыграл 15 игр, Коля - 11, а Вася - 8.
Кто проиграл четвертую игру?
 
Петя, Коля и Вася играют в настольный теннис один на один. Пока двое играют, третий отдыхает. Проигравший идет отдыхать, а выигравший играет с тем, кто до этого отдыхал.

В конце Петя сыграл 15 игр, Коля - 11, а Вася - 8.
Кто проиграл четвертую игру?
Проиграл (В)ася.

Итак, у нас игроки (П)ется, (К)оля, (В)ася.
Каждый раз играют двое. Таким образом всего игр было (15 + 11 + :cool: / 2 = 17.

Из них:
П+К: (15+11-:cool: / 2 = 9
П+В: (15+8-11) / 2 = 6
К+В: (11+8-15) / 2 = 2

Мы видим что П сыграл 15 игр из 17. Значит либо он был участником первой игры и проиграл всего 2 раза, либо в первой игре не участвовал, и проиграл 1 раз.

Покаем что второй вариант невозможен. По правилам игры пока П выигрывает В,К должны чередоваться. Мо мы видим что П сыграл с К на 3 игры больше чем с В. Если бы он проиграл лишь 1 раз, то разница была бы равна 2 (т.е. К 1 раз выиграл, плюс у него может быть ещё на 1 игру больше из-за нечётности общего кол-ва игр в которых участвовал П).

Таким образом мы знаем в первой игре участвовали П+К, а также что П проиграл всего 2 раза, и оба раза он проиграл К.
Отсюда легко видеть что В не выиграл ни раза, и что он играл во все чётные игры. Таким образом только он мог проиграть 4-ую игру.
 
Все даже еще проще. Чтобы сыграть минимальное количество игр нужно все время проигрывать. Если бы В играл и проигрывал первую и все нечетные игры, то он сыграл бы 9. Но, т.к. он сыграл всего 8, значит он проиграл все четные игры.
 
Сегодня задача от китайских пятиклассников.
Найти площадь четырехугольника ABCD, если AB = 10 см, угол A = 90°,
<ABD = 40°, <BCD = 45°, <BDC = 5°.
Сначала решил "в лоб", с тригонометрией. А когда получил ответ, понял как это надо решать

1535869281399.png

Достраиваем треугольник как на картинке, чтобы угол при B был равен 5°. Угол при D получается 40°+90° = 130°, что равно углу BCD.

Значит достроенный треугольник равен треугольнику BCD: равные углы и общая сторона.

С другой стороны если сейчас посмотреть на треугольник ABD` (т.е. с пристройкой), то это прямоугольный равнобедренный треугольник, соответственно площать: AB^2 /2.
 
Если все так просто, то сегодня бонусом любимая задача Волтера Левина.
20180902_095203-800x541.jpg
Собрана такая плоская схема с двумя резисторами R1 = 1 Om, R2 = 10 Om образующими замкнутый контур и двумя вольтметрами V1 и V2 высокого разрешения по времени меряющими напряжение между точками A и B. Допустим это два осцилографа с высокой частотой сэмплинга. В дырку на схеме бросают магнит который пролетая создаёт внутри контура изменяющееся магнитное поле, которое в свою очередь, наводит в контуре ЭДС. Допустим, в какой-то момент времени t вольтметр V2 показал значение +3V. Какое значение в этот момент показывал вольтметр V1?
Сопротивлением и индуктивностью проводов пренебречь.
 
Если все так просто, то сегодня бонусом любимая задача Волтера Левина.
Посмотреть вложение 82294
Собрана такая плоская схема с двумя резисторами R1 = 1 Om, R2 = 10 Om образующими замкнутый контур и двумя вольтметрами V1 и V2 высокого разрешения по времени меряющими напряжение между точками A и B. Допустим это два осцилографа с высокой частотой сэмплинга. В дырку на схеме бросают магнит который пролетая создаёт внутри контура изменяющееся магнитное поле, которое в свою очередь, наводит в контуре ЭДС. Допустим, в какой-то момент времени t вольтметр V2 показал значение +3V. Какое значение в этот момент показывал вольтметр V1?
Сопротивлением и индуктивностью проводов пренебречь.
Я могу ошибаться, но по-моему это решается так.

Рассмотрим правый контур, т.е. вольтметр V2 и резистор R2. В нём не наводится ЭДС т.к. нет суммарного магнитного потока. Значит сумма падения напряжений равна 0, т.е. Вольтметр V2 показывает напряжение на R2.
Аналогично с левым контуром, Вольтметр V1 показывает падение напряжение на R1.

Теперь заметим что через вольтметры ток не идёт, из-за высокого внутреннего сопротивления. Т.е. ток течёт только по внутреннему контуру где оба резистора. Значит через оба резистора течёт один ток, следовательно отношение напряжений на них равно отношению сопротивлений.

Итого, Вольтметр V1 показывает -0.3V
 
@valdo, ответ верный, но такое объяснение я до конца не понимаю.
Во-первых, внутреннее сопротивление вольтметров хоть и велико (допустим 100МОм), но ток через них все же течет, в конце концов именно его и показывают вольтметры.
Во-вторых непонятно почему V2 именно меряет падение на R2, а не R1? Соответственно V1 на R1, а не R2? Они ведь оба подключены к одним и тем же точкам A и B?
 
@valdo, ответ верный, но такое объяснение я до конца не понимаю.
Во-первых, внутреннее сопротивление вольтметров хоть и велико (допустим 100МОм), но ток через них все же течет, в конце концов именно его и показывают вольтметры.
Да, разумеется ток есть. И, строго говоря, вольтметр показывает напряжение на себе самом (т.е. своё сопротивление умноженное на этот ток).
Но этот ток должен быть минимальным, и вольтметры обязательно имеют высокое сопротивление, для того чтобы минимально воздействовать на систему.

"Идеальный" вольтметр - это такой током через который можно пренебречь.

@valdo
Во-вторых непонятно почему V2 именно меряет падение на R2, а не R1? Соответственно V1 на R1, а не R2? Они ведь оба подключены к одним и тем же точкам A и B?
В этом и заключается вся магия переменного магнитного поля, которое вызывает вихревое электрическое поле. Это "неконсервативное" поле, т.е. можно взять заряд, выйти из точки, пройти каким-то маршрутом, вернуться назад, и работа этого поля будет ненулевая. Поэтому важно не только где подключаешься, но и как именно идут провода.

Если на простом языке, то можно всё объяснить такой иллюстрацией:
1535922125570.png

Переменное магнитное поле вызывает т.н. ЭДС. Вот мы и обозначим схематично этот ЭДС в виде дополнительных источников напряжения. Поскольку поле вихревое, то напряжение в каждом контуре возникает в соответствии с его направлением. Скажем, в данном случае - по часовой стрелке.

Так вот, если теперь посмотреть на левый и правый контуры, то наглядно видно что суммарный ЭДС равен нулю (источники ЭДС друг друга нейтрализуют), следовательно напряжение на вольтметре равно напряжению на резисторе.

Видно также почему напряжения на вольтметрах не равны: если мы смотрим на большой внешний контур, то видно что в нём ненулевая ЭДС, и она как раз равна разности напряжений вольтметров.
 
Вот вы блин умные! Аж страшно :)
Где эти задачки: переложи 3 спички чтоб получился квадрат ?...
У Наполеона было 2 яблока, а у Кутузова одно. О каких яблоках речь?...
Эх...
 

khnun

Помножен на ноль
valdo, я извиняюсь, но решение и его обьяснение кажутся мне не слишком убедительными.

1. Не совсем понял, какую роль в ваших расчетах играют батарейки, нарисованые вами в контурах измерения. Какова величина генерируемого ими напряжения? Друг друга нейтрализуют? В каком смысле? И если даже так (то есть мы не принимаем их в расчет), каким образом это способствут получению именно такого результата?
2. В том виде, в котором приведена задача мы видим на картинке всего лишь схему. На подобных схемах обычно принято считать что все физические параметры идеальны. То есть приборы имеют безконечное сопротивление, резисторы - точечные размеры, проводники - нулевое сопротивление. Очевидно что топология контуров измерения не должна влиять на результат. Представте себе что измерительные провода расположены строго перпендикулярно контуру с резисторами (приборы где-то сверху или снизу), и при таком расположении на них ничего наводиться не будет.

Я осмелюсь утверждать что при таком раскладе оба прибора будут показывать абсолютно одинаковое напряжение. Что вполне соответствует здравому смыслу. И, кстати, никак не противоречит законам Кирхгоффа. :)
 
Последнее редактирование:
valdo, я извиняюсь, но решение и его обьяснение кажутся мне не слишком убедительными.

1. Не совсем понял, какую роль в ваших расчетах играют батарейки, нарисованые вами в контурах измерения. Какова величина генерируемого ими напряжения? Друг друга нейтрализуют? В каком смысле? И если даже так (то есть мы не принимаем их в расчет), каким образом это способствут получению именно такого результата?
2. В том виде, в котором приведена задача мы видим на картинке всего лишь схему. На подобных схемах обычно принято считать что все физические параметры идеальны. То есть приборы имеют безконечное сопротивление, резисторы - точечные размеры, проводники - нулевое сопротивление. Очевидно что топология контуров измерения не должна влиять на результат. Представте себе что измерительные провода расположены строго перпендикулярно контуру с резисторами (приборы где-то сверху или снизу), и при таком расположении на них ничего наводиться не будет.

Я осмелюсь утверждать что при таком раскладе оба прибора будут показывать абсолютно одинаковое напряжение. Что вполне соответствует здравому смыслу. И, кстати, никак не противоречит законам Кирхгоффа. :)
Картинка - только для интуиции, чтобы было понятно почему вольтметры подключённые к одним точкам могут показывать разные напряжения.
Решение - см. 2 поста выше.

Очевидно что топология контуров измерения не должна влиять на результат.
А вот и нет. И именно об этом и речь.
Точнее - результат зависит от величины изменения магнитного потока сквозь площадь ограниченную конткром.
В нашем конкретном примере - всё зависит от того находится ли дырка внутри контура.
 
Ток через вольтметр V1 обозначим за I1.
Ток через вольтметр V2 обозначим за I2.
Ток через резистор R обозначим за Ir.

I1 + I2 + Ir = 0, т.к. в точках A,B контуры соединяются, и сумма токов равна 0.

Очевидно V1 = I1 * Rv1, V2 = I2 * Rv2, Vr = Ir * R

Таким образом вместо I1, I2, Ir будем использовать V1/Rv1, V2/Rv2, Vr/R.

V1/Rv1 + V2/Rv2 + Vr / R = 0

Далее, левый контур содержит дырку и в нём наводится суммарное напряжение U:

V1 + V2 = U

Правый контур (V2 и резистор) не содержит дырку, значит:

V2 + Vr = 0

Таким образом у нас 3 уравнения, и 4 неизвестных: V2, V2, Vr, U. Для решения задачи нам должны что-то дать: либо U, либо напряжение одного из вольтметров.

Предположим что нам дан V1. Тогда выходит:

V2 + Vr = 0
V1/Rv1 + V2/Rv2 + Vr / R = 0
V1/Rv1 + V2/Rv2 - V2 / R = 0

V1 * 1/Rv1 = V2 * (1/ R - 1/Rv2)

V2 = V1 / [ (Rv1/ R - Rv1/Rv2) / ]

Подставляя наши значения получаем:

V2 = V1 / [ 10^5/(7*10^3) - 10^5/10^6 ]

V2 = V1 / [ 100/7 - 0.1 ]

Т.е. примерно V2 = V1 * 7/100

Это выглядит довольно логично. Если предположить что сопротивление резистора незначительно по сравнению с вольтметрами, то V2 = 0. И это логично: если R низкий, то падение нарпяжения на R равно нулю, а это именно то что V2 меряет.
 

khnun

Помножен на ноль
Это выглядит довольно логично...... И это логично...
Это было бы логично для случая, если бы между V1 и точкой А стояла бы батарейка. Что расчитывается элементарно:
Код:
Сопротивление  V2 || R : 1000000 * 7000 / (1000000 + 7000) = 6951.340616 Ом
Ток: 1V / 6951.340616 Oм = 0.000143857 A
Напржение на V1: 0.000143857 * 100000 = 14.38571429 V
Но тот ли у нас случай?
Как насчет нео-консервативных сил, которые злобно гнетут профессора Волтера Льюина и его студентов? ;)
Вот вы блин умные! Аж страшно :)
Где эти задачки: переложи 3 спички чтоб получился квадрат ?...
И то правда. Подобные задачки "на смекалку" интересуют от силы пару-тройку участников форума.

Ну а что касается этой, я тут немного порылся в сети... Лекция Льюита где он представил ее студентам в свое время вызвала определенный резонанс, и споры. Вот она (собственно демонстрация "парадокса" где-то с 34:00):


В общем то суть "парадокса" заключалась в том, что с одной стороны мы вроде как меряем напряжения в одних и тех же точках, с другой стороны измеренные значения оказываются разными. Льюин обьяснял это неконсервативными полями, тем что Фарадей рулит а Кирхгофф нервно курит в сторонке и прочей на (мой взгляд) чепухой. С тех пор ему возражали, он упирался, и "дискуссия" эта похоже длится по сей день.
На мой взгляд наиболее полное обьяснение того что на самом деле происходит при проведении подобных "экспериментов" приведено на этих видео, где грамотный инженер подробно, обстоятельно и последовательно ставит на место витающего в облаках профессора:

 
А в чем противоречие между инженером и Левиным? Инженер наглядно показал, что когда провода отклоняются от вертикального положения в одну сторону, то к показаниям прибавляется 0.5 вольта, а в другую вычитается 0.5 вольта. Инженер называет это ошибкой измерения, но весь поинт Левина именно и был в том чтобы описать этот эффект качественно и количественно.
 
Чёта у тебя не то вышло.
Правильный ответ должен быть :
V2 = V1/ [ Rv1/Rv2 + Rv1/R];
(по модулю, т.е. с точностью до знака).
Кстати, V2 нам дано и равно +1v (см. рисунок), но это не важно.
 
Последнее редактирование:
Чёта у тебя не то вышло.
Правильный ответ должен быть :
V2 = V1/ [ Rv1/Rv2 + Rv1/R];
(по модулю, т.е. с точностью до знака).
Кстати, V2 нам дано и равно +1v (см. рисунок), но это не важно.
У меня вышло то же самое, вопрос лишь с тем как определено положительное напряжение
 
У меня вышло то же самое, вопрос лишь с тем как определено положительное напряжение
У тебя в знаменателе вышла разность, а должна быть сумма. Я понимаю, что результат может выйти с противоположным знаком, но у тебя он по модулю другой. Значит или где-то ошибка в вычислениях или неправильные контуры брал.