• Zero tolerance mode in effect!

Задачи, головоломки, загадки

@valdo,

Доказать, что для любой выпуклой трехмерной фигуры, средняя площадь параллельной проекции равна 1/4 ее площади поверхности. Отсюда, например, сразу следует, что площадь поверхности шара в черыре раза больше площади круга того же диаметра.
 
@valdo,

Доказать, что для любой выпуклой трехмерной фигуры, средняя площадь параллельной проекции равна 1/4 ее площади поверхности. Отсюда, например, сразу следует, что площадь поверхности шара в черыре раза больше площади круга того же диаметра.

В принципе то что я привёл для куба таки можно обобщить на любую выпуклую фигуру. Там ответ был 3/2, т.е. 1/2 для каждой видимой грани.

Для случайной ориентации каждый элемент площади любой 3-мерной фигуры с вероятностью 1/2 является видимым, и в случае когда он видимый средняя площадь его проекции равна 1/2 его реальной площади (в случае с кубиком я нигде не пользовался тем что грань является квадратом, там речь шла исключительно про скалярное произведение двух единичных векторов со случайными направлениями.

Так что ИМХО действительно можно сделать вывод что для любой выпуклой фигуры в среднем каждый элемент площади даёт 1/4 к площади проекции.

Красивая задача.
 
Такая задача. Сразу предупреждаю, что как ее решать я не знаю и даже не знаю какой ответ.

В круге случайным образом выбирают 4 точки - независимо и равномерно по площади круга.
После этого на выбранные точки натягивают выпуклую оболочку. В результате эта оболочка представляет собой или четырехугольник или треугольник.

Вопрос: вероятность чего выше, треугольника или четырехугольника?

Для продвинутых: выбирают N точек. Вопрос тот же - вероятность чего выше, треугольника или четырехугольника?
 
Такая задача. Сразу предупреждаю, что как ее решать я не знаю и даже не знаю какой ответ.

В круге случайным образом выбирают 4 точки - независимо и равномерно по площади круга.
После этого на выбранные точки натягивают выпуклую оболочку. В результате эта оболочка представляет собой или четырехугольник или треугольник.

Вопрос: вероятность чего выше, треугольника или четырехугольника?

Для продвинутых: выбирают N точек. Вопрос тот же - вероятность чего выше, треугольника или четырехугольника?

Мы выбрали 3 точки. Теперь с выбором 4й точки вероятность получить треугольник равна отношению площади треугольника к площади круга.
Разве нет?
 
Мы выбрали 3 точки. Теперь с выбором 4й точки вероятность получить треугольник равна отношению площади треугольника к площади круга.
Разве нет?
Во-первых нет:
circle500x500.jpg
Четвертая точка может быть в любом месте заштрихованной области.
Во-вторых допустим, что только треугольник. Как найти среднюю площадь этого треугольника?
 
Во-первых нет:

Четвертая точка может быть в любом месте заштрихованной области.
Во-вторых допустим, что только треугольник. Как найти среднюю площадь этого треугольника?
А, ну так всё сводится к нахождению площали заштрихованной области.
 
Назад
Сверху Снизу